Законы распределения случайной величины. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины Нормальное распределение имеет параметры

18.04.2024

Нормальное распределение - наиболее часто встречающийся вид распределения. С ним приходится встречаться при анализе погрешностей измерений, контроле технологических процессов и режимов, а также при анализе и прогнозировании различных явлений в биологии , медицине и других областях знаний.

Термин «нормальное распределение» применяется в условном смысле как общепринятый в литературе, хотя и не совсем удачный. Так, утверждение, что какой-то признак подчиняется нормальному закону распределения, вовсе не означает наличие каких-либо незыблемых норм, якобы лежащих в основе явления, отражением которого является рассматриваемый признак, а подчинение другим законам распределения не означает какую-то анормальность данного явления.

Главная особенность нормального распределения состоит в том, что оно является предельным, к которому приближаются другие распределения. Нормальное распределение впервые открыто Муавром в 1733 году. Нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины. Плотность нормального закона распределения имеет вид .

Математическое ожидание для нормального закона распределения равно . Дисперсия равна .

Основные свойства нормального распределения.

1. Функция плотности распределения определена на всей числовой оси Ох , то есть каждому значению х соответствует вполне определённое значение функции.

2. При всех значениях х (как положительных, так и отрицательных) функция плотности принимает положительные значения, то есть нормальная кривая расположена над осью Ох .

3. Предел функции плотности при неограниченном возрастании х равен нулю, .

4. Функция плотности нормального распределения в точке имеет максимум .

5. График функции плотности симметричен относительно прямой .

6. Кривая распределения имеет две точки перегиба с координатами и .

7. Мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием а .

8. Форма нормальной кривой не изменяется при изменении параметра а .

9. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.

Очевидна важность вычисления этих коэффициентов для эмпирических рядов распределения, так как они характеризуют скошеннность и крутость данного ряда по сравнению с нормальным.

Вероятность попадания в интервал находится по формуле , где нечётная табулированная функция.

Определим вероятность того, что нормально распределённая случайная величина отклоняется от своего математического ожидания на величину, меньшую , то есть найдём вероятность осуществления неравенства , или вероятность двойного неравенства . Подставляя в формулу, получим

Выразив отклонение случайной величины Х в долях среднего квадратического отклонения, то есть положив в последнем равенстве, получим .

Тогда при получим ,

при получим ,

при получим .

Из последнего неравенства следует, что практически рассеяние нормально распределённой случайной величины заключено на участке . Вероятность того, что случайная величина не попадёт на этот участок, очень мала, а именно равна 0,0027, то есть это событие может произойти лишь в трёх случаях из 1000. Такие события можно считать практически невозможными. На приведённых рассуждениях основано правило трёх сигм , которое формулируется следующим образом: если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения .

Пример 28 . Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием . Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Решение. Рассмотрим случайную величину Х - отклонение размера от проектного. Деталь будет признана годной, если случайная величина принадлежит интервалу . Вероятность изготовления годной детали найдём по формуле . Следовательно, процент годных деталей, изготавливаемых автоматом, равен 95,44%.

Биномиальное распределение

Биномиальным является распределение вероятностей появления m числа событий в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р . Вероятность возможного числа появлений события вычисляется по формуле Бернулли: ,

где . Постоянные п и р , входящие в это выражение, параметры биномиального закона. Биномиальным распределением описывается распределение вероятностей дискретной случайной величины.

Основные числовые характеристики биномиального распределения. Математическое ожидание равно . Дисперсия равна . Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны и . При неограниченном возрастании числа испытаний А и Е стремятся к нулю, следовательно, можно предположить, что биномиальное распределение сходится к нормальному с возрастанием числа испытаний.

Пример 29 . Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А в одном испытании, если дисперсия числа появлений в трёх испытаниях равна 0,63.

Решение. Для биномиального распределения . Подставим значения, получим отсюда или тогда и .

Распределение Пуассона

Закон распределения редких явлений

Распределение Пуассона описывает число событий m , происходящих за одинаковые промежутки времени при условии, что события происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью. При этом число испытаний п велико, а вероятность появления события в каждом испытании р мала. Поэтому распределение Пуассона называют законом редких явлений или простейшим потоком. Параметром распределения Пуассона является величина , характеризующая интенсивность появления событий в п испытаниях. Формула распределения Пуассона .

Пуассоновским распределением хорошо описываются число требований на выплату страховых сумм за год, число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определённое время, число отказов элементов при испытании на надёжность, число бракованных изделий и так далее.

Основные числовые характеристики для распределения Пуассона. Математическое ожидание равно дисперсии и равно а . То есть . Это является отличительной особенностью этого распределения. Коэффициенты асимметрии и эксцесса соответственно равны .

Пример 30 . Среднее число выплат страховых сумм в день равно двум. Найти вероятность того, что за пять дней придётся выплатить: 1) 6 страховых сумм; 2) менее шести сумм; 3) не менее шести.распределение.

Это распределение часто наблюдается при изучении сроков службы различных устройств, времени безотказной работы отдельных элементов, частей системы и системы в целом, при рассмотрении случайных промежутков времени между появлениями двух последовательных редких событий.

Плотность показательного распределения определяется параметром , который называют интенсивностью отказов . Этот термин связан с конкретной областью приложения - теорией надёжности.

Выражение интегральной функции показательного распределения можно найти, используя свойства дифференциальной функции:

Математическое ожидание показательного распределения , дисперсия , среднее квадратическое отклонение . Таким образом, для этого распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию. При любом значении параметра коэффициенты асимметрии и эксцесса - постоянные величины .

Пример 31 . Среднее время работы телевизора до первого отказа равно 500 часов. Найти вероятность того, что наудачу взятый телевизор проработает без поломок более 1000 часов.

Решение. Так как среднее время работы до первого отказа равно 500, то . Искомую вероятность найдём по формуле .

Случайная величина называется распределенной по нормальному (Гауссовскому) закону с параметрами аи () , если плотность распределения вероятностей имеет вид

Величина, распределенная по нормальному закону, всегда имеет бесчисленное множество возможных значений, поэтому ее удобно изображать графически, с помощью графика плотности распределения. Согласно формуле

вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала равна площади под графиком функции на этом интервале (геометрический смысл определенного интеграла). Рассматриваемая функция неотрицательна и непрерывна. График функции имеет вид колокола и называется кривой Гаусса или нормальной кривой.

На рисунке изображено несколько кривых плотности распределения случайной величины, заданной по нормальному закону.

Все кривые имеют одну точку максимума, при удалении от которой вправо и влево кривые убывают. Максимум достигается при и равен .

Кривые симметричны относительно вертикальной прямой, проведенной через наивысшую точку. Площадь подграфика каждой кривой равна 1.

Различие отдельных кривых распределения состоит лишь в том, что суммарная площадь подграфика, одна и та же для всех кривых, различным образом распределена между различными участками. Основная часть площади подграфика любой кривой сосредоточена в непосредственной близости наивероятнейшего значения , а это значение у всех трех кривых разное. При различных значениях и а получаются различные нормальные законы и различные графики плотности функции распределения.

Теоретические исследования показали, что большинство встречающихся на практике случайных величин имеет нормальный закон распределения. По этому закону распределяется скорость газовых молекул, вес новорожденных, размер одежды и обуви населения страны и много других случайных событий физической и биологической природы. Впервые эту закономерность заметил и теоретически обосновал А. Муавр.

При , функция совпадает с функцией , о которой уже шла речь в локальной предельной теореме Муавра–Лапласа. Плотность вероятности нормального распределения легко выражаетсячерез :

При таких значениях параметров нормальный закон называется основным .

Функция распределения для нормированной плотности называется функцией Лапласа и обозначается Φ(х) . Мы также уже встречались с этой функцией.

Функция Лапласа не зависит от конкретных параметров а и σ. Для функции Лапласа, с помощью методов приближенного интегрирования составлены таблицы значений на промежутке с разной степенью точности. Очевидно, что функция Лапласа является нечетной, следовательно, нет необходимости помещать в таблицу ее значения при отрицательных .

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами а и , математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам: , .Среднее квадратическое отклонение равно .

Вероятность того, что нормально распределенная величина примет значение из интервала , равна

где есть функция Лапласа, введенная в интегральной предельной теореме.

Часто в задачах требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит некоторого значения , т.е. вычислить вероятность . Применяя формулу (19.2), имеем:

В заключение приведем одно важное следствие из формулы (19.3). Положим в этой формуле . Тогда , т.е. вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от своего математического ожидания не превысит , равна 99,73%. Практически такое событие можно считать достоверным. В этом и состоит сущность правила трех сигм.

Правило трех сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания практически не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

В различных отраслях науки и техники, а также метрологической практике закон нормального распределения (или просто нормальный закон) нашел наибольшее применение. Этому закону подчиняются многие случайные непрерывные величины. Широкое применение закона нормального распределения объясняется центральной предельной теоремой. Из этой теоремы следует, что если случайная величина X представляет собой сумму взаимно независимых случайных величин х р х 2 , ..., х, влияние каждой из которых на всю сумму незначительно, то независимо оттого, каким законам распределения подчиняется каждое из слагаемы х п, сама величина X будет иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.

Дифференциальная функция распределения или плотность распределения вероятности случайной непрерывной величины, подчиняющейся нормальному закону, имеет вид:

где х - переменная случайная величина (результат наблюдений); о х, а д - среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений случайной составляющей их погрешности; т х - математическое

ожидание; в - основание натуральных логарифмов, е = 2, 71828.

Следует помнить, что о х = а д.

Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде колоколообразной кривой (кривая Гаусса), представленной на рис. 5.8.

Функция Ф(А) нормированного нормального распределения (интеграл Гаусса) в табличном виде представлена в приложении А.

Как видно на рис. 5.8, кривая нормального распределения случайной величины х результатов измерений симметрична относительно математического ожидания.

Если х - результаты многократных наблюдений одной и той же детерминированной физической величины, то указанная выше кривая симметрична относительно математического ожидания результатов этих наблюдений.

Как уже говорилось ранее, если в качестве случайной величины принята случайная погрешность А со средним квадратическим отклонением а д, эта кривая симметрична относительно оси ординат (рис. 5.9).

Положение кривой Р х (х) =/(х) относительно начала координат определяется значением математического ожидания. Причем обычно на практике берется не математическое ожидание, а среднее арифметическое результатов многократных наблюдений X.

Форма кривой нормального распределения определяется параметром а. Как было показано ранее, чем меньше а, тем более островершинной становится кривая, а ее ветви сближаются (см. рис. 5.4).

Вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [х р х 2 ] равна площади под кривой нормального распределения, ограниченной нижней Xj и верхней х 7 границами доверительного интервала (рис. 5.10).

Выразим это математически:

Производя замену переменных и их подстановку, получим

В теории вероятностей и метрологии для определения вероятности попадания результата наблюдений в некоторый интервал применяется так называемая нормированная функция Лапласа Ф(Z) =

= которая табулирована. Условия нормирования

заключаются в том, что значение среднего арифметического результатов измерений X принимается равным нулю, а среднее квадратическое отклонение о = 1. В этом случае параметром является величина

Значения функции Лапласа приведены в приложении Б. Используя функцию Лапласа, можно следующим образом определить вероятность попадания результата наблюдения X в интервал (х, х 2):

Приведенное выражение говорит о том, что вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [х р х-,] равна разнице значений функции Лапласа в точках верхней и нижней границ доверительного интервала.

При рассмотрении этой формулы следует иметь в виду, что O(-Z) = = -0(Z).

Моменты функции распределения случайной погрешности А, распределенной по нормальному закону:

Интегральная функция нормального распределения, представленная на рис. 5.11, выражается через дифференциальную следующим образом:

Правило трех сигм. На практике достаточно часто требуется оценить вероятность того, что отклонение нормально распределенной величины X по абсолютному значению не превышает определенный размер, который обычно принимается равным положительному числу 8.

Другими словами, требуется найти вероятность того, что осуществляется неравенство Х-а 5.

Это неравенство равносильно следующему: - Ь или (а-Ъ) +5).

Используя правило, что вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал равна разнице значений функции Лапласа на границах этого интервала, т.е. Р(а (3) =

= ", получим

При а = 0 получим

Если положить, что 5 = За, получим

Таким образом, вероятность отклонения истинного значения случайной величины X по абсолютному значению будет меньше утроенного значения среднего квадратического отклонения. Это и есть правило трех сигм.

Формулируется оно следующим образом: если случайная величина распределена нормально, то абсолютное значение максимального отклонения результата измерения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Это правило применимо и следующим образом: если распределение случайной величины неизвестно, но условие, указанное в правиле трех сигм, соблюдается, то есть основание предполагать, что изучаемая случайная величина распределена нормально, в противном случае - нет.

Контрольные вопросы

1. Дифференциальная функция распределения результатов измерений и случайной погрешности, подчиняющаяся нормальному закону. Аналитическая зависимость, графический вид, начальный и центральные моменты.
2. Интегральная функция, соответствующая нормальному закону распределения.
3. Правило трех сигм.

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса .

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и, входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением случайной величиныХ .

Найдём функцию распределения F (x ) .

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса .

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х , значение функции стремится к нулю.

4) Найдём экстремум функции.

Т.к. при y ’ > 0 при x < m и y ’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный
.

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а , т.к. разность

(х – а ) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x = m +  и x = m -  вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно
.

Построим график функции плотности распределения (рис. 5).

Построены графики при т =0 и трёх возможных значениях среднеквадратичного отклонения  = 1,  = 2 и  = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

При а = 0 и  = 1 кривая называется нормированной . Уравнение нормированной кривой:

Функция Лапласа

Найдём вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Т.к. интеграл
не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей .

Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

На рис. 6 показан график функции Лапласа.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф( ) = 1.

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x .

Ещё используетсянормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

На рис. 7 показан график нормированной функции Лапласа.

Правило трёх сигм

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трёх сигм .

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины :

Если принять  = 3, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трёх сигм .

Не практике считается, что если для какой-либо случайной величины выполняется правило трёх сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели законы распределения непрерывных величин В ходе подготовки к последующей лекции и практическим занятиям вы должны самостоятельно при углубленном изучении рекомендованной литературы и решения предложенных задач дополнить свои конспекты лекций.

Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины занимает особое место среди различных теоретических законов, т. к. является основным во многих практических исследованиях. Им описывается большинство случайных явлений, связанных с производственными процессами.

К случайным явлениям, подчиняющимся нормальному закону распределения, относятся ошибки измерений производственных параметров, распределение технологических погрешностей изготовления, рост и вес большинства биологических объектов и др.

Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией

a - математическое ожидание случайной величины;

Среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис.7).

Рис. 7 Кривая Гаусса

Свойства нормальной кривой (кривой Гаусса):

1. кривая симметрична относительно прямой x = a;

2. нормальная кривая расположена над осью X, т. е. при всех значениях X функция f(x) всегда положительна;

3. ось ox является горизонтальной асимптотой графика, т. к.

4. при x = a функция f(x) имеет максимум равный

в точках A и B при и кривая имеет точки перегиба, ординаты которых равны.

При этом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного отклонения , равна 0,6826.

в точках E и G, при и , значение функции f(x) равно

а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9544.

Асимптотически приближаясь к оси абсцисс, кривая Гаусса в точках C и D, при и , очень близко подходит к оси абсцисс. В этих точках значение функции f(x) очень мало

а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973. Это свойство кривой Гаусса называется "правило трех сигм ".

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.

При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.

Изменение величины параметра (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси X и прижимается к ней. При убывании ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси X и становится более "островершинной".

При этом, при любых значениях и площадь ограниченная нормальной кривой и осью X, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси X нормальной кривой, равна 1).

Нормальное распределение с произвольными параметрами и , т. е. описываемое дифференциальной функцией

называется общим нормальным распределением .

Нормальное распределение с параметрами и называется нормированным распределением (рис. 8). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:

Рис. 8 Нормированная кривая

Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид:

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины равны a=30 и . Найти вероятность того, что X примет значение в интервале (10, 50).

По условию: . Тогда

Пользуясь готовыми таблицами Лапласа (см. приложение 3), имеем.