Свободные колебания. Виды колебаний — Гипермаркет знаний Виды колебаний примеры

14.02.2024

В зависимости от причин, которые возбуждают колебательный процесс, различают следующие виды колебаний:

· свободные колебания

· вынужденные колебания,

· автоколебания,

· параметрические колебания.

Свободные колебания происходят в системах, которые в начальный момент времени выводятся из состояния равновесия, после чего причины возбуждения устраняются и система продолжает движение при отсутствии внешних воздействий. Колебания происходят за счет запаса энергии, которую получила система при начальном возбуждении.

Вынужденные колебания характеризуются тем, что система находится под постоянным действием внешних динамических нагрузок. Энергия, необходимая для поддержания процесса колебаний, поступает за счет работы внешних воздействий.

Параметрические колебания также возникают при внешних воздействиях, однако они происходят не от воздействия динамических нагрузок, а предопределяются изменением во времени параметров самой системы – масс или жесткостей.

Автоколебания возникают при отсутствии внешних воздействий за счет внутреннего источника энергии и имеют периодический характер.

Все реальные колебательные системы имеют внутреннее трение, в результате чего энергия, которая поддерживает колебательный процесс, постепенно рассеивается. Происходит так называемая диссипация энергии . Аналогичное влияние оказывает сопротивление среды, в которой происходят колебания. Поэтому для поддержания процесса колебаний необходимо иметь постоянный приток энергии, без чего они постепенно прекратятся, затухнут. Во многих случаях, однако, затухание имеет незначительную величину, которая допускает решение задач без учета диссипации энергии. Соответственно различают колебания с учетом и без учета сил сопротивления. Для свободных колебаний применяют понятие затухающих и незатухающих колебаний.

Различают линейные и нелинейные колебания . Первые из них характерны для, так называемых, линейных колебательных систем , которые описываются линейными

дифференциальными уравнениями. Такие колебания называют также малыми, или упругими, поскольку линейная деформируемость сохраняется лишь при малых упругих перемещениях системы. Для линейных колебаний справедлив принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции): общий эффект действия нескольких динамических нагрузок можно представить как сумму действий каждой из них в отдельности.

Наконец можно классифицировать колебания в зависимости от характера деформаций, которые возникают в системе. С этой точки зрения можно выделить колебания продольные, поперечные, крутильные, изгибно-крутильные и т.п.

Цель динамического расчета

Основная цель динамического расчета конструкции – обеспечить несущую способность и допустимые перемещения элементов при колебаниях. В соответствии с этим задача динамического расчета конструкции состоит в определении динамических усилий и перемещений, вызванных динамическими деформациями ее элементов. Непосредственному решению этой задачи обычно предшествует анализ частот и форм свободных колебаний сооружения. Благодаря такому анализу можно достаточно надежно прогнозировать развитие динамических процессов при разнообразных внешних воздействиях, а также сформировать эффективные расчетные динамические модели сооружения, с помощью которых выполняются расчеты для оценивания амплитудных величин внутренних усилий и перемещений. Уровень допустимых внутренних усилий определяется условиями динамической прочности, а допустимые размахи колебаний конструкции задаются условиями нормальной эксплуатации. При этом наряду с возможным нарушением нормального хода производственного процесса из-за больших амплитуд колебаний сооружения учитывается также вредное влияние на людей высоких уровней вибрации.

Как правило, выполняя динамический расчет, непосредственно определяют характер изменения перемещений сооружения, который отвечает рассматриваемому режиму колебаний. А затем, зная перемещения, находят внутренние усилия в элементах конструкции.

Считается, что задача динамического расчета решена, если в результате анализа установлено, что для рассматриваемых видов внешних действий обеспечена несущая способность конструкции, а расчетные значения амплитуд колебаний не превышают допустимых. Если же хотя бы одно из этих условий не удовлетворяется, возникает проблема определения эффективного способа снижения уровня вибрации. В современной инженерной практике существует много подходов, с помощью которых можно существенно снизить интенсивность колебаний. Следует отметить, что такие задачи возникают не только на стадии проектирования сооружения, но и в процессе эксплуатации, если оказывается, что в существующем сооружении при определенных условиях развиваются опасные динамические процессы.

), колебания, которые совершаются за счет энергии, сообщенной системе в начале колебательного движения (например, в механической системе через начальное смещение тела или придание ему начальной скорости, а в электрической системе - колебательном контуре - через создание начального заряда на обкладках конденсатора). Амплитуда собственных колебаний в отличие от вынужденных колебаний определяется только этой энергией, а их частота - свойствами самой системы. Вследствие рассеяния энергии собственные колебания всегда являются затухающими колебаниями. Пример собственные колебания - звучание колокола , гонга , струны рояля и т.п.

Современная энциклопедия . 2000 .

Смотреть что такое "СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ" в других словарях:

Собственные колебания - (свободные колебания), колебания, которые совершаются за счет энергии, сообщенной системе в начале колебательного движения (например, в механической системе через начальное смещение тела или придание ему начальной скорости, а в электрической… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Колебания в любой колебат. системе, происходящие в отсутствие внешнего воздействия; то же, что (см. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ) . Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983 … Физическая энциклопедия

- (свободные колебания) колебания, которые могут возбуждаться в колебательной системе под действием начального толчка. Форма и частота собственных колебаний определяются массой и упругостью для механических собственных колебаний и индуктивностью и… … Большой Энциклопедический словарь

- (Oscillations) свободные колебания тела или колебательного контура по инерции, когда на них не действует периодическая внешняя сила. С. К. имеют вполне определенный период (собственный период); напр. колебания корабля после того, как его… … Морской словарь

собственные колебания - Свободные колебания по одной из собственных форм. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1970 г.] Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN … Справочник технического переводчика

- (свободные колебания), колебания, которые могут возбуждаться в колебательной системе под действием начального толчка. Форма и частота механических собственных колебаний определяются массой и упругостью, а электромагнитных индуктивностью и… … Энциклопедический словарь

собственные колебания - savieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. eigen oscillations; natural oscillations; self oscillations vok. Eigenschwingungen, f rus. собственные колебания, n pranc. oscillations propres, f … Fizikos terminų žodynas

Свободные колебания, колебания, совершающиеся в динамич. системе при отсутствии внешнего воздействия при сообщении ей в начальный момент внешнего возмущения, выводящего систему из состояния равновесия. Характер С. к. в основном определяется… … Математическая энциклопедия

собственные колебания - ▲ физические колебания независимый собственные [свободные] колебания возникают под действием начального толчка. автоколебания. самовозбуждение самопроизвольное возникновение колебаний в системе под влиянием внешних воздействий. спектр. триплет … Идеографический словарь русского языка

Свободные колебания, колебания в механической, электрической или какой либо другой физической системе, совершающиеся при отсутствии внешнего воздействия за счёт первоначально накопленной энергии (вследствие наличия начального смещения или … Большая советская энциклопедия

Книги

Сложное прошедшее. В поисках Парижа, или Вечное возвращение (комплект из 3 книг) , Михаил Герман. В трехтомник прозы известного петербургского писателя и историка искусства Михаила Юрьевича Германа входят воспоминания "Сложное прошедшее" и книга "В поисках Парижа, или Вечное…
Ударение в собственных именах в современном русском языке , А. В. Суперанская. Настоящая книга посвящена анализу ударения в собственных именах в современном русском языке. Изложение охватывает три типа собственных имен - личные имена, фамилии и географические названия в…

- 131.04 Кб

Введение………………………………………………………… …..

Виды и характеристики колебаний.

Механические колебания…………………………………………….

Электомагнитные колебания………………………..

Литература…………………………………………………… ……………..

Введение.

Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Звук – это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет – тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой. Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны и достигающее в некоторых местностях 18 метров, биение пульса – периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д. Смена бодрствования и сна, труда и отдыха, зимы и лета...

Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение домой попадает под определение колебаний, которые трактуются как процессы, точно или приближенно повторяющиеся через равные промежутки времени.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Специальный раздел физики – теория колебаний – занимается изучением закономерностей этих явлений. Знать их необходимо судо- и самолетостроителям, специалистам промышленности и транспорта, создателям радиотехнической и акустической аппаратуры.

Любые колебания характеризуются амплитудой – наибольшим отклонением некоторой величины от своего нулевого значения, периодом (T ) или частотой (v ). Последние две величины связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью: T = 1/v . Частота колебаний выражается в герцах (Гц). Единица измерения названа так в честь известного немецкого физика Генриха Герца (1857...1894). 1 Гц – это одно колебание в секунду. Примерно с такой частотой бьется человеческое сердце. Слово «херц» по-немецки означает «сердце». При желании в этом совпадении можно усмотреть некую символическую связь.

Первыми учеными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей (1564...1642) и Христиан Гюйгенс (1629...1692). Галилей установил изохронизм (независимость периода от амплитуды) малых колебаний, наблюдая за раскачиванием люстры в соборе и отмеряя время по ударам пульса на руке. Гюйгенс изобрел первые часы с маятником (1657) и во втором издании своей монографии «Маятниковые часы» (1673) исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника.

Большой вклад в изучение колебаний внесли многие ученые: английские – У. Томсон (лорд Кельвин) и Дж. Рэлей , русские – А.С. Попов и П.Н. Лебедев, советские – А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, А.А. Андронов и другие.

1.Виды колебаний и их характеристики.

Колебательными процессами (колебаниями) называются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющиеся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом.

В зависимости от физической природы и механизма возбуждения колебаний различают:

- механические колебания (колебания маятников, струн, балок, частей машин и механизмов, качка кораблей, волнение моря, колебания давления при распространении звука в газе, жидкости, твердом теле и т.д.);

- электромагнитные колебания (переменный ток, колебания тока, заряда, векторов E и H в колебательных контурах и т.д.);

- электромеханические колебания (колебания мембран телефонов, диффузоров электродинамических громкоговорителей и т.д.).

Колебательные движения отличаются от других видов движений. Они характеризуются некоторыми общими признаками. На языке теории колебаний различия между колебательным движением тела и процессами в колебательных электромагнитных контурах исчезают, если подходить к ним с точки зрения общих принципов. Такой подход называется электромеханическими аналогиями.

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Колебания, которые возникают вследствие какого-либо начального отклонения системы от ее устойчивого равновесия, называются собственными колебаниями.

Колебания, возникающие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия, называются вынужденными колебаниями.

Общие признаки и понятия, единые для различных колебательных систем, следующие:

дифференциальное уравнение (его вид одинаков для любых колеблющихся систем);
уравнение колебаний;
амплитуда;
частота или период колебаний;
фаза;
начальная фаза.

Рассмотрим колебания в механической и электромагнитной системах, выделяя именно перечисленные выше признаки.

1.1.Механические колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называют такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник). Для того чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть шарик, либо отведя в сторону, отпустить его.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение. При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

В качестве механической колебательной системы, на примере которой мы будем рассматривать колебания, выбираем пружинный маятник : маленькое тело (материальная точка) массой m подвешено на пружине с жесткостью k (Рисунок 2).

Ненагруженная пружина имела длину l 0 . Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести. Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника . Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая этих сил равна:

Знак минус означает, что направление силы F упр. и направление смещения х противоположны. F упр. - сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости от того, в какую сторону от положения равновесия отклонено тело). Качественно на Рисунке 1.1 виден результат действия упругой силы (чем больше смещение, тем больше F упр.).

Рисунок 1.1 – Положения пружинного маятника за время одного периода колебаний.

Если система совершает колебания под действием сил, развивающихся в самой колебательной системе без внешних воздействий и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими собственными колебаниями .

Отсутствие затухания колебаний характерно для идеальной колебательной системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

Дифференциальное уравнение , соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон Ньютона ma = F .

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени
,
а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как, получим

или
.

Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения характерны для незатухающих колебаний в любой идеальной колебательной системе.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дифференциальное уравнение к виду:

Величина, обозначим ее, получим

Решением дифференциального уравнения такого вида являются уравнения:

Или

Эти решения называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить смещение х пружинного маятника в любой момент времени.

Колебания, при которых характеризующие их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими .

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет, т.е. .
В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения в виде.

В уравнении колебаний:

А – амплитуда смещения – максимальное отклонение маятника от положения равновесия;

х – смещение маятника, т.е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени t;

α – начальная фаза определяет положение маятника в начальный момент времени (t = 0).

Периодом T называется наименьший интервал времени, за который система возвращается в исходное положение. За период колебаний система совершает одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется величина, равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

Циклической или круговой частотой периодических колебаний называется величина, равная числу колебаний, совершаемых за единиц времени.

Для пружинного маятника частота и период собственных колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид:

, .

Зная уравнение смещения пружинного маятника, получим подобные уравнения для других физических величин. Найдем скорость, ускорение, энергию колебаний, если уравнение смещения пружинного маятника задано в виде.

Скорость колебаний маятника есть первая производная по времени от смещения:

Краткое описание

Механические колебания…………………………………………….

Электомагнитные колебания………………………..

Литература…………………………………………………………………..

1. Колебания.

2. Механические колебания.

3. Превращения энергии при механических колебаниях.

4. Период колебаний.

5. Частота колебаний.

6. Циклическая частота колебаний.

7. Амплитуда механических колебаний.

8. Гармонические колебания.

9. Фаза гармонического колебания.

10. Аналитическое представление колебаний.

11. Графическое представление колебаний.

12. Скорость точки в гармоническом колебании.

13. Ускорение точки в гармоническом колебании.

14. Динамика гармонического колебания.

15. Период колебаний пружинного маятника.

16. Математический маятник. Квазиупругая сила.

17. Колебания тела, плавающего на поверхности жидкости.

18. Колебания однородной жидкости в U – образной трубке.

19. Колебания тела в сферической чаше.

20. Энергия гармонического колебания.

21. Затухающие колебания.

22. Вынужденные колебания.

23. Резонанс.

24. Свободные колебания. Собственная частота.

25. Автоколебания.

1. Колебания. Колебаниями вообще называют периодические изменения состояния системы, при которых периодически изменяются значения различных физических величин, характеризуют данную систему. Например, периодические изменения давления и плотности воздуха, напряжения и силы электрического тока есть колебания этих величин.

Математически периодичность означает, что, если - есть периодическая функция времени с периодом Т , то при любом t выполняется равенство

2. Механические колебания – движения тела, которые точно или почти точно повторяются через равные интервалы времени.

Механические колебания возникают в системах, имеющих положение устойчивого равновесия. Согласно с принципом минимума потенциальной энергии, в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия системы минимальна. Когда тело выводят из положения устойчивого равновесия, его потенциальная энергия возрастает. При этом возникает сила, направленная к положению равновесия (возвращающая сила), и чем дальше от положения равновесия отклоняется тело, тем больше его потенциальная энергия и тем больше модуль возвращающей силы. Например, при отклонении пружинного маятника от положения равновесия, роль возвращающей силы играет сила упругости, модуль которой изменяется пропорционально отклонению , где х отклонение маятника от положения равновесия. Потенциальная энергия пружинного маятника изменяется пропорционально квадрату смещения .

Аналогично возникают колебания нитяного маятника и шарика, движущегося по дну сферической чаши радиуса R , который можно рассматривать как нитяной маятник с длиной нити равной радиусу чаши (Рис.78).

3.Превращения энергии при механических колебаниях . Если отсутствуют силы трения, то полная механическая энергия тела, совершающего колебательное движение, остаётся постоянной. В процессе колебаний происходят периодические взаимные превращения потенциальной и кинетической энергии тела. Проведем рассуждения на примере колебаний нитяного маятника. Для упрощения рассуждений примем потенциальную энергию маятника в положении равновесия равной нулю. В крайнем отклонённом положении потенциальная энергия маятника максимальна, а кинетическая энергия равна нулю, т.к. в этом положении маятник находится в покое. При движении к положению равновесия высота маятника над поверхностью Земли уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия, при этом возрастают его скорость и кинетическая энергия. В положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. Продолжая движение по инерции, маятник проходит положение равновесия. После прохождения положения равновесия кинетическая энергия маятника убывает, но возрастает его потенциальная энергия. Когда произойдёт остановка маятника, его кинетическая энергия станет равной нулю, а потенциальная энергия достигнет максимума и всё повторится в обратном порядке.

По закону сохранения энергии потенциальная энергия маятника в крайнем отклоненном положении равна его кинетической в момент прохождения положения равновесия.

В процессе колебаний в любой момент времени полная механическая энергия маятника равна его потенциальной в крайнем отклонённом положении или кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия

где высота маятника в крайнем отклоненном положении, скорость в момент прохождения положения равновесия.

4. Период колебания – минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения, или интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание. Период (Т ) измеряется в секундах.

5. Частота колебании - определяет число полных колебаний, совершаемых за одну секунду. Частота и период связаны соотношением

Частота измеряется в герцах (Гц). Один герц – одно полное колебание совершаемое за одну секунду

6. Циклическая частота или круговая частота определяет число полных колебаний, свершаемых за секунд

Частота – величина положительная , .

7. Амплитуда механических колебаний – максимальное отклонение тела от положения равновесия. В общем случае колебаний амплитуда есть максимальное значение, которое принимает периодически изменяющаяся физическая величина.

8. Гармонические колебания – колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса (по гармоническому закону):

Здесь амплитуда колебаний, циклическая частота.

9. Фаза гармонического колебания – величина , стоящая под знаком синуса или косинуса. Фаза определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени, начальная фаза, т.е. в момент начала отсчёта времени Простейшим примером гармонических колебаний является колебание проекции на оси координат точки m движущейся равномерно по окружности радиуса А в плоскости XOY , центр которой совпадает с началом координат (рис. 79)

Для простоты положим , т.е. тогда

Многие известные колебательные системы можно лишь приближенно считать гармоническими лишь приближенно при очень малых отклонениях. Главным условием гармонического колебания является постоянство циклической частоты и амплитуды. Например, при колебаниях нитяного маятника, угол отклонения от вертикали изменяется неравномерно, т.е. циклическая частота не постоянна. Если отклонения очень малы, то движение маятника происходит очень медленно и неравномерностью движения можно пренебречь, полагая . Чем медленнее движение, тем меньше сопротивление среды, те меньше потери энергии и меньше изменения амплитуды.

Итак, малые колебания можно приближенно считать гармоническими.

10. Аналитическое представление колебаний – запись колеблющейся величины в виде функции , выражающей зависимость величины от времени.

11. Графическое представление колебаний – представлениеколебаний в виде графика функции в координатных осях OX и t .

Например, аналитически гармоническое колебания записывается в виде , а его графическое представление изображается синусоидой - сплошная линия на Рис.80.

12.Скорость точки при гармоническом колебании – получим, дифференцируя по времени функцию х (t )

Где амплитуда скорости, пропорциональна циклической частоте и амплитуде смещения.

Итак, скорость V по синусоидальному закону с таким же периодом T, что и смещение х в пределах . Фаза скорости опережает фазу смещения на . Это значит, что скорость максимальна, когда точка проходит положение равновесия , а при максимальных смещениях точки её скорость равна нулю. График скорости представлен пунктирной линией на рис Рис.80

13. Ускорение точки при гармонических колебаниях получим, дифференцируя скорость по времени или дифференцируя смещение х дважды по времени:

Где - амплитуда ускорения пропорциональная амплитуде смещения и квадрату циклической частоты.

Ускорение точки при гармонических колебаниях изменяется по синусоидальному закону с тем же периодом Т , что и смещение в пределах Фаза ускорения опережает фазу смещения на . Ускорение равно нулю в момент прохождения точкой положения равновесия, На Рис.81 график ускорения изображен пунктирной линией, сплошная линия изображает график смещения.

Учитывая, что ускорение запишем в виде

Т.е. ускорение в гармоническом колебании пропорционально смещению и всегда направлено к положению равновесия (против смещения). Удаляясь от положения равновесия точка движется ускоренно, приближаясь к положению равновесия точка движется ускоренно.

14. Динамика гармонического колебания. Умножив ускорение точки, совершающей гармоническое колебание, на её массу получим согласно второму закону Ньютона силу, действующую на точку

Обозначим Теперь запишем силу, действующую на точку

Из последнего равенства следует, что гармонические колебания вызываются силой пропорциональной смещению и направленной против смещения, т.е. к положению равновесия.

15. Период колебаний пружинного маятника. Пружинный маятник совершает колебания под действием силы упругости

Сила пропорциональная смещению и направленная к положению равновесия вызывает гармонические колебания точки. Поэтому колебания пружинного маятника гармонические. Коэффициент жесткости равен

Помня, что получим период свободных колебаний пружинного маятника

Частота пружинного маятника равна

15. Математический маятник – материальная точка, подвешенная на бесконечно тонкой, невесомой, нерастяжимой нити, совершающая колебания в вертикальной плоскости, под действием силы тяжести.

Груз, подвешенный на нити, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с длиной нити, можно приближенно считать математическим маятником. Часто такой маятник называют нитяным маятником.

Рассмотрим малые колебания математического маятника длиной l . В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения нити, т.е. .

Если отклонить маятник на малый угол , то сила тяжести и сила натяжения, направленные под углом друг к другу, в сумме дают равнодействующую силу ,которая направлена к положению равновесия. На Рис.82 отклонение маятника от вертикали равно

Угол настолько мал, что циклическую частоту, т.е. угловую скорость вращения нити можно считать постоянной. Поэтому и смещение маятника запишем в виде

Таким образом, малые колебания математического маятника есть гармонические колебания. Из Рис. 82 следует, что сила , но , следовательно

Где m, g, и l постоянные величины. Обозначим и получим модуль возвращающей силы в виде . Если учесть, что сила всегда направлена к положению равновесия, т.е. против смещения, то её выражение запишем в виде .

Итак, сила, вызывающая колебания математического маятника пропорциональна смещению и направлена против смещения, как при колебаниях пружинного маятника, т.е характер этой силы такой же как и силы упругой. Но по природе упругая сила есть сила электромагнитная. Сила же вызывающая колебания математического маятника по своей природе есть сила гравитационная – неэлектромагнитная поэтому её называютквазиупругой силой. Любая сила, которая действует как сила упругая, по природе не является электромагнитной, называется квазиупругой силой. Это позволяет нам записать выражение периода колебаний математического маятника в виде

Из этого равенства следует, что период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника, но зависит от его длины и ускорения свободного падения. Зная период колебаний математического маятника и его длину, можно определить ускорение свободного падения в любой точке на поверхности Земли.

17. Колебания тела, плавающего на поверхности жидкости. Для простоты рассмотрим тело массы m в форме цилиндра с площадью основания S. Тело плавает частично погрузившись в жидкость, плотность которой (Рис. 83).

Пусть в положении равновесия глубина погружения . При этом равнодействующая силы Архимеда и силы тяжести равна нулю

Если изменить глубину погружения на х то сила Архимеда станет равной и модуль равнодействующей силы F станет отличен от нуля

Учитывая, что получим

Обозначая , модуль силы F в виде

Если глубина погружения увеличивается, т.е. тело смещается вниз, сила Архимеда становится больше силы тяжести и равнодействующая F направлена вверх, т.е. против смещения. Если же глубина погружения уменьшается, т.е. смещается вверх от положения равновесия, сила Архимеда становится меньше силы тяжести и равнодействующая F направлена вниз, т.е. против смещения.

Итак, сила F всегда направлена против смещения и её модуль пропорционален смещению

Эта сила квазиупругая и она вызывает гармонические колебания тела, плавающего на поверхности жидкости. Период этих колебаний вычисляется по общей для гармонических колебаний формуле

18. Колебания однородной жидкости в U-трубке . Пусть однородная жидкость массы m , плотность которой налита в U – образную трубку, площадь сечения которой S (Рис.84) В состоянии равновесия высоты столбов в обоих коленах трубки одинаковы, по закону сообщающихся сосудов для однородной жидкости.

Если жидкость вывести из состояния равновесия, то высоты столбов жидкости в коленах будут периодически изменяться, т.е. жидкость в трубке будет совершать колебания.

Пусть в некоторый момент времени высота столба жидкости в правом колене на х больше. чем в левом. Это значит, что на жидкость в трубке действует сил тяжести жидкости в столбе высотой х , , где - объём столба жидкости высотой x . Произведение величина постоянная, следовательно .

Таким образом, модуль силы F пропорционален разности высот столбов жидкости в коленах, т.е. пропорционален смещению жидкости в трубке. Направление этой силы всегда противоположно смещению, т.е.

Следовательно эта сила вызывает гармонические колебания жидкости в трубке. Период этих колебаний запишем по правилу для гармонических колебаний

19. Колебания тела в сферической чаше. Пусть тело скользит без трения в сферической чаше радиуса R (Рис. 78). При малых отклонениях от положения равновесия колебания этого тела можно рассматривать как гармонические колебания математического маятника, длина которого равна R , с периодом равным

20. Энергия гармонического колебания . В качестве примера рассмотрим колебания пружинного маятника. При смещении х

Если сила трения очень велика, то затухающие колебания не происходят. Тело, выведенное из положения равновесия какими-либо силами, после прекращения действия этих сил возвращается в положение равновесия и останавливается. Такое движение называется апериодическим (непериодическим). График апериодического движения представлен на Рис.86.

22. Вынужденные колебания – незатухающие колебания системы, которые вызываются внешними периодически меняющимися с течением времени силами (вынуждающие силы).

Если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

, где амплитуда вынуждающей силы, её циклическая частота, то в системе могут установиться вынужденные гармонические колебания с циклической частотой равной частоте вынуждающей силы

23. Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой свободных колебаний системы . Если колебание происходит в среде, оказывающей сопротивление, то график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы выглядит так как на Рис.87

Вынуждающая сила, частота которой совпадает с частотой свободных колебаний системы, даже при очень малых амплитудах вынуждающей силы может вызвать колебания с очень большой амплитудой.

24. Свободные колебания. Собственная частота системы. Свободными колебаниями называют колебания системы, происходящие под действием её внутренних сил. Для пружинного маятника внутренней силой является сила упругости. Для математического маятника, который состоит из самого маятника и Земли, внутренней силой является сила тяжести. Для тела, плавающего на поверхности жидкости, внутренней силой является сила Архимеда.

25. Автоколебания – незатухающие колебания, происходящие в среде, за счет источника энергии не обладающего колебательными свойствами, компенсирующего потери энергии на преодоление сил трения. Автоколебательные системы получают равные порции энергии через равные интервалы времени например, через один период. Примером автоколебательной системы являются часы.

Колебания - движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.
Свободные колебания - колебания в системе под действием внутренних тел, после того как система выведена из положения равновесия.
Колебания груза, подвешенного на нити, или груза, прикрепленного к пружине, - это примеры свободных колебаний. После выведения этих систем из положения равновесия создаются условия, при которых тела колеблются без воздействия внешних сил.
Система - группа тел, движение которых мы изучаем.
Внутренние силы - силы, действующие между телами системы.
Внешние силы - силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.

Условия возникновения свободных колебаний.

При выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия и, следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.
Пример: при перемещении шарика, прикрепленного к пружине, влево и при его перемещении вправо сила упругости направлена к положению равновесия.
Трение в системе должно быть достаточно мало. Иначе колебания быстро затухнут или вовсе не возникнут. Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.